STANDARD DEVIATION (DESVIACIÓN TÍPICA) : FROM CONTINOUS TIME TO DISCRETE TIME (DE TIEMPO CONTINUO A TIEMPO DISCRETO)

Heteroskedacity is a problem when we are handling time series data. La discontinuidad en la periodicidad de los datos en las series temporales resulta ser un problema de manipulación. Continous time transformation is needed. Transformación en tiempo continuo es necesaria.  Example (Ejemplo) :

Given the following 10 intraday share prices, what is the standard deviation of the return rates? Dados los siguientes 10 precios intradía, cuál es la desviación típica de las tasas de rentabilidad ?

From last to first, Del último al primero: 3700 , 3740 , 3735 , 3800 , 3735 , 3790 , 3695 , 3705 , 3875 , 3865

AS IS (rates) , COMO TAL (tasas):  0.9893 , 1.0013 , 0.9829 , 1.0174 , 0.9855 , 1.0257 , 0.9973 , 0.9561 , 1.0026

These rates must be turned into continous time rates by using natural logarithm: ln.  Estas tasas deben ser convertidas a tasa en tiempo continuo, usando logaritmo natural: ln.  

-0.0107 , 0.0013 , -0.0172 , 0.0172 , -0.0146 , 0.0254 , -0.0027 , -0.0449 ,  0.0026

We can now apply the classic formula for a sample.  Podemos aplicar ahora la fórmula clásica para una muestra.

STD = 0.0205730233503667  This is a value in continuos time... But reality is nearer to discrete time.  Este es un valor en tiempo continuo... Pero la realidad  es más cercana al tiempo discreto.

e^μ * (e^σ^2 -1)^(1/2)  1 period transformation (fórmula de transformación para un periodo)  

 If (si) μ = -0.00484765137657851 , e = Euler's number (número de Euler) ,σ = standard deviation in continous time (desviación típica en tiempo continuo)

STD in discrete time (en tiempo discreto) = 0.0204757003886505

What is the conceptual difference? Cuál es la diferencia conceptual ?While under continous time, we calculate a standard deviation for a n number of data; under discrete time we have got a standard deviation for an elapsed number of time units.

Mientras que bajo tiempo continuo, calculamos una desviación típica para un número n de datos; bajo tiempo discreto conseguimos una desviación típica para un número transcurrido de unidades temporales. 

Here is the formula for a cumulated, discrete time, standard deviation.  Aquí la fórmula para una desviación típica, acumulada y en tiempo discreto.
e^μ*T * (e^σ^2*T -1)^(1/2) multiperiod transformation

Help yourselves by solving for a 15 day cumulated value.  Sírvanse ustedes mismos, resolviendo para un valor acumulado a 15 días.


Sources/Fuentes: John Cochrane. The University Of Chicago. Asset Pricing.