Monday 29 April 2013

BUSINESS APPRAISAL: THE RIGHT FORMULA WHEN CASH FLOWS ARE VARIABLE (PART 2)

Previously, we attempted to price a business assuming there is no debt and no residual value of the underlying asset. This time we will reprise our latest exercise adding liabilities and an expected residual value or rescue value of the assets behind our investment.
 
SELF CENTERED SOCIETY is hired to carry out a due dilligence process for ICU, Inc. After several researches the following information is found out. The operational cash flow for the next year is expected to be 500k, there is a 10 year debt demanding 200k yearly, the historical rate of change in percentage for incomes is 5% per year, with the current assets and forthcoming market conditions ICU is expected to last 20 years and the discount rate applied to ICU operations is fixed at 10% the liabilities are discounted at the free-risk rate of 7%. On the other hand, buildings, equipment and machinery might be sold at the end of year 20 at 1000
Question: PV of ICU with g, discounting debt and adding market rescue value? Answers as follow:
PV=500*[1-(1.1/1.05)^-20/(0.1-0.05)]=6056.042028k
We could have discounted the value out of the 500 but that would be wrong, why? Because, while the operational cash flow grows yearly around 5% on average; the installments for the debt stay the same. So, the liabilities need to be priced separately.
200*[1-(1.07)^-10/(0.07)]=1404.716308
Although most authors recommend to price the liabilities on their own. It is also true the fact that when a net cash flow is accounted, the word by itself states is NET. Liabilities may not have the same life span than that of the incoming cash flows or by the time the business to be taken over has engaged itself with a new loan.
Now the residual value = 1000 *(1.1)^20 = 6727.5k (#)
The business new price is given by: 6056.042028 + 6727.5 - 1404.716308 = 11378.8256k
You might have noticed the usage of a risk free rate not equal to that used to discount the operational cash flow. There is absolute certainty about the reimbursements to the lender while there is uncertainty about the incomes and the amounts of those incomes to the business. According to several authors, liabilities have to be discounted at the market's risk free rate and not "the market rate" nor the nominal rate of the liabilities.
(#)The residual value of certain assets is bigger now than in the future. Why? It is because of 2 reasons: DEPRECIATION AND OUTDATING opposed to soils and premises which are sensitive to market gains as time goes by.....
Sources: Bloomberg, Chicago Mercantile Exchange Group, RiskCenter, Investopedia, Wikipedia, MIT-OCW, Coursera.org, Edx.org

Sunday 28 April 2013

BUSINESS APPRAISAL: THE RIGHT FORMULA WHEN NET CASH FLOWS ARE VARIABLE (PART 1)

It has been long ago since our last gathering. I am writing the following notes to clear up a misunderstanding arising when the common student is pricing or appraising a business -either a company or a financial asset- with variable net cash flows and a well-known end.

We have to blend the classical formula for both -present value and future value- with the Gordon Growth Model. The conventional formula states that the installments will always be the same during the life of the venture, this is, they are always a constant numerical value

PV =PMT*[1-(1+r)^-t/(r)] or FV = PMT*[(1+r)^t-1/(r)] Hey! But what happens if PMT IS NOT CONSTANT??

Well, we will have to overhaul and to reprise the theories, formulas and laws by William Baumol, Stephen Ross and Myron Gordon. What you are about to read is merely a patchwork!

PV=PMT*[1-(1+r/1+g)^-t / (r-g)] or FV = PMT*[(1+r)^t-(1+g)^t / (r-g)]

Where: PV is an unknown present value, FV is an uncertain future value, r is a chosen discount rate, t is Time or a number of payments set up on purpose, PMT is the first installment/payment as an income or outcome and g is a rate at which PMT changes all accross the lifetime of the net cash flow.

So thus, the only new argument added was "g" and among its attributes: is not constant, has to be calculated over and over because g is often referred as a geometric historical average and finally, has to be related to r in terms of accrued periods.

An easy example: SELF CENTERED SOCIETY is hired to carry out a due dilligence process for ICU, Inc. After several researches the following information is found out. The net cash flow for the next year is expected to be 500k, the historical rate of change in percentage is 5% per year, with the current assets and forthcoming market conditions ICU is expected to last 20 years and the discount rate applied to ICU operations is fixed at 10%

Question: PV of ICU with and without g? Answers as follow:

PV=500*[1-(1.1)^-20/(0.1)]=4256.78186k or PV=500*[1-(1.1/1.05)^-20/(0.1-0.05)]=6056.042028k

On a regular basis, the agents work under uncertainty about the net cash flow collected by the shareholder. The formula involving a change factor is the right one. The original formula only works on a fixed scheme where all of the payments -from first to last- are already well known like in a "treasury", bank note or government bond.

Thank you very much for your patience!

Saturday 27 April 2013

LAS LETRAS GRIEGAS EN OPCIONES NO EUROPEAS Y FUTUROS (PARTE 2)

Con varios ejemplos se ilustra a continuación el cálculo de los valores para cada fórmula. Se va a analizar el desempeño de un contrato futuro y de una opción call y de una opción put sobre acciones de una reconocida empresa transnacional del sector de las Telecomunicaciones.

Todos los derivados con fecha de vencimiento: 18-XII-2009. Los precios al contado, a futuro y primas por acción que a continuación se apuntan corresponden a los precios de cierre de los primeros días de Septiembre 2009, del primero al último. Se anota el desarrollo para opciones europeas.

CONTADO: 17.20, 17.38, 17.28, 17.45, 18.62 FUTURO: 16.75, 16.89, 17.77,17.88, 18.33
PRIMA COMPRA: 1.04, 0.96, 0.76, 0.77, 0.7 PRIMA VENTA: 1.42, 1.58, 1.27, 1.15, 0.85 En ambos casos el precio de ejercicio es 18 al vencimiento. Información extraída de: www.meff.es
DESVIACIÓN TÍPICA: 0, 0.127279220613578, 0.0901849950564577, 0.109962114688044, 0.585815670667831
TIPO DE INTERÉS LIBRE DE RIESGO: 1.08%, 1.06%, 1.07%, 1.05%, 1.01% ANUAL (convertir a tipo diario)
OMEGA (sólo futuros) : (16.89/16.75)/(17.38/17.20)= 0.79867 y días siguientes: -9.052, 0.6292, 0.3754
DELTA COMPRA: -0.44444, 2, 0.0588235, -0.0598291 DELTA VENTA: 0.88889, 3.1, -0.70588, -0.25641  CALL=(e^-c*t)*N(d1)  y  PUT= -(e^-c*t)*N(-d1)
LAMBDA COMPRA: -7.350, 36.208, 1.3375, -1.3559 LAMBDA VENTA: 10.767, 34.1, -9.60445, -3.8907  CALL=(e^-c*t)*N(d1)*C/S y PUT= -(e^-c*t)*N(-d1)*P/S
THETA COMPRA: 0.068 THETA VENTA: 0.114 (Se ha calculado para el acumulado de 5 días)   CALL=(-e^-ct)*(S*phi(d1)*σ)/(2*(t)^0.5)- (r*K*e^-r*t*N(d2)+c*S*e^-c*t*N(d1))
PUT=(-e^-ct)*(S*phi(d1)*σ)/(2*(t)^0.5) + (r*K*e^-r*t*N(-d2)-c*S*e^-c*t*N(-d1))
VEGA COMPRA: -0.62854, 5.39167, 0.50563, -0.1471 VEGA VENTA: 1.25708, 8.35709, -6.06762, -0.63045.  S*e^-c*t*phi(d1)*t^0.5  o   K*e^-r*t*phi(d2)*t^0.5
RHO COMPRA: 147557.90, -737753.09, -18442.92, 64531.1 RHO VENTA: -295115.79, -1143517.28, 221315.01, 276561.86 (medida poco usada pués el factor tipo ya viene implícito en las primas y contados) CALL=K*t*e^-r*t*N(d2)  PUT=-K*t*e^-r*t*N(-d2)
GAMMA COMPRA: -2.4691, -20, 0.3460, -0.0511 GAMMA VENTA: 4.9383, -31, -4.1522, -0.2192     (e^-ct)*phi(d1)/(S*σ*(t)^0.5)
Así pués, se han calculado los guarismos para las letras griegas de FUTUROS Y OPCIONES. Por restricciones de espacio no se publican el total de las operaciones para llegar a estos resultados, basta con desarrollar la fórmula aritméticamente.
La razón de ser de estos cocientes es determinar un patrón o tendencia que nos indique una probable dirección en el precio del derivado para establecer que posición tomar a efectos de arbitraje o cobertura.

Fuentes: https://institute.cmegroup.com/courses/option-greeks

Friday 26 April 2013

LAS LETRAS GRIEGAS EN OPCIONES EUROPEAS Y FUTUROS (PARTE 1)

Bien sea para medir la sensibilidad, elasticidad o reacción de una variable con respecto a otra existen unos cocientes en el mundo de las OPCIONES FINANCIERAS y WARRANTS llamados "griegas" . Existen y su razón de ser se debe principalmente a las estrategias que especuladores y gestores tracen con respecto al comportamiento cruzado del valor en el numerador y en el denominador.


Antes de continuar cabe aclarar las diferencias fundamentales entre una OPCIÓN y un WARRANT.

El primero cotiza en bolsa casi de manera exclusiva y la cantidad de activo subyacente es igual para todos los contratos sobre el mismo producto y aunque hay compradores y vendedores el contrato es emitido por la bolsa o las partes. Mientras que el segundo puede ser instrumento público o privado y la cantidad de activo subyacente está establecida por convenio entre las partes y el emisor del valor subyacente  es parte contratante. A continuación los indicadores más comunes.

DELTA: Cambio en el precio de una opción con respecto a cambio en el precio al contado del activo subyacente, se sintetiza en la expresión: Δ =∂V/∂S

LAMBDA: Equivalente a la anterior. Sólo que con esta se mide la ELASTICIDAD del suceso. Porcentaje de cambio en el precio de la opción con respecto al porcentaje de cambio en el precio al contado del activo subyacente, se expresa de esta manera: λ = ∂V/∂S * S/V

THETA: Cambios en el precio de la opción con respecto al diferencial de fechas (el factor tiempo) . Se simplifica así: Θ = -∂V/∂T

VEGA (nu): Cambio en el precio de la opción con respecto a cambios en la volatilidad del precio del activo subyacente. Se escribe de la forma: ν = ∂V/∂σ

RHO: Cambio en el precio de la opción con respecto a cambios en el tipo de interés libre de riesgo del mercado. Se plantea de este modo: ρ = ∂V/∂r

GAMMA: Griega secundaria. Cambios en el valor DELTA (Δ ) con respecto a cambios en el precio del activo subyacente. Se desarrolla como: Γ = ∂Δ /∂S

OMEGA: Sólo aplicable a contratos de Futuros. Cambio porcentual en el precio a futuro con respecto al cambio porcentual en el precio al contado del activo negociado. La fórmula queda: ω = ∂F/∂S

Muy importante al desplegar las fórmulas; es tener en cuenta que las fechas y/o periodicidad de los valores usados tanto en el numerador como en el denominador coincidan. Sino los índices calculados serán erróneos. Por otro lado, cuando se menciona precio de la opción, precio en el activo subyacente y demás; se hace referencia a cantidades unitarias NUNCA a lotes completos.

Hasta aquí expuestas las griegas más usadas. Aunque existen otras secundarias y terciarias, las estampadas en este artículo son las habituales para medir desenvolvimiento y determinar los algoritmos de proceso y ejecución por parte de los operadores. En el próximo artículo ejemplos de todo lo anterior.

Fuentes:  https://institute.cmegroup.com/courses/option-greeks

Thursday 25 April 2013

COCIENTE DE VALORACIÓN (Appraisal Ratio)

Para concluir esta serie sobre indicadores para la medición y evaluación del desempeño de una inversión y la pericia de sus administradores, vamos a tratar en este artículo el COCIENTE DE VALORACIÓN. Es otra razón de diágnostico que divide la rentabilidad por exceso o defecto con respecto a la VOLATILIDAD RESIDUAL de la cartera, fondo, negocio o activo sujeto a avalúo.

La fórmula dice: CV = α/σe Donde: CV es el guarismo para el cociente de valoración, α es el valor para la variable de Jensen y σe es el valor para la volatidad residual.

Descomponiendo, se tiene que: α/σe = {Ra - [rf+β*(Km-rf)]} / [σa^2-(σm*β)^2]^0.5

En donde: Ra es el valor para la última rentabilidad conocida del activo o portafolio o negocio avaluado, rf es la tasa libre de riesgo del mercado bursátil si resulta aplicable sino la de la Economía, β es el cociente de apalancamiento, Km es la última rentabilidad de todo el mercado bursátil si resulta aplicable sino la de la Economía, σa es la volatilidad de las rentabilidades para el activo o portafolio o negocio avaluado, σm es la volatilidad de todo el mercado bursátil si resulta aplicable sino la de la Economía.

Al igual que el ERROR DE PISTEO O SEGUIMIENTO, EL COCIENTE DE INFORMACIÓN, EL COCIENTE DE SHARPE Y EL COCIENTE DE TREYNOR; el presente indicador también arroja claves e indicios acerca de la buena o mala gestión por parte de los administradores o gerentes de una inversión.

Como se puede apreciar y deducir a partir de la fórmula, el cociente no puede tomar valores negativos y es necesario compararlo y contrastarlo con otras alternativas y tener muy en cuenta que cuanto más se aproxime a 0 peor es el desempeño o bien de la inversión o bien de los encargados.

Ejemplo con datos aleatorios: Los directivos de la firma ASERRUCHAR tras 1 año de gestión con acciones de la empresa CONCORDATO han obtenido tras la venta de su participación una rentabilidad neta del 10% (incluyendo dividendos, descontando impuestos y gastos de gestión) , la tasa libre de riesgo del mercado bursátil para igual periodo fue del 5% y la de este mercado consolidado del 9% en igual periodo. El cociente de apalancamiento entre la inversión y el mercado fue del 0.75, la volatilidad de la inversión diaria igual a 0.0000008942, la volatilidad diaria del mercado bursátil 0.00000007659. A partir de estos datos calcular el cociente de valoración.

Primero hay que anualizar las volatilidades. Esto se logra multiplicando los valores cada uno por la raíz cuadrada de 365 y así obtendríamos: 0.00001708366701 y 0.000001463249895 . Luego la volatilidad residual sería igual a (0.0000000002918516785 - 0.000000000001204368894)^0.5 = 0.00001704838144

Calculada la volatilidad residual, el siguiente paso es saber el valor de la variable de Jensen. Reemplazando en la fórmula: (0.1)-0.05+0.75*(0.09-0.05) = 0.02

El Cociente De Valoración = 1173.131894. Hay que compararlo con cocientes de periodos anteriores o inversiones alternativas en el mismo periodo para determinar la pericia e idoneidad de los gestores. La cifra por si sola no indica maldad o bondad ni del activo ni de los responsables

Wednesday 24 April 2013

COCIENTE DE INFORMACIÓN (Information Ratio)

Prosiguiendo con los indicadores y como complemento del ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO surge una razón muy útil para medir la eficiencia de un activo o portafolio y de paso evaluar la proactividad y competitividad de los gestores o administradores. El Cociente De Información.

La fórmula, nos dice: Ra* - Ri*/ σ(ra,ri) en donde: Ra* - Ri* es la diferencia entre las rentabilidades medias del activo o portafolio y el índice o cartera de referencia y σ(ra,ri) es el Error De Seguimiento O Error De Pisteo.

En activos positiva y perfectamente correlacionados con un índice o cartera de referencia, el Cociente De Información es igual a infinito (0/0). A continuación un ejemplo con datos ficticios y tan solo 5 rentabilidades. El fondo ASERRUCHAR y el índice de bolsa SCS

1% y 0.9%, 0.875% y 0.899%, 0.652% y 0.712%, 0.743% y 0.698%, 0.459% y 0.536%. La rentabilidad media para cada serie es de 0.7458% en el caso ASERRUCHAR y 0.749% para el índice SCS. La diferencia = -0.0032%

Ahora el cálculo del ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO, el cual es esencialmente una volatilidad o desviación típica en diferencias. {[(0.01-0.009)^2+(0.00875-0.00899)^2+(0.00652-0.00712)^2+(0.00743-0.00698)^2+(0.00459-0.00536)^2]/5}^0.5 = 0,0665281895139196%

Obtenidos los guarismos y en el ejemplo el COCIENTE DE INFORMACIÓN es igual a: -0.032% / 0,0665281895139196% = -0,0480999110810095 Un desempeño bastante ineficente con respecto al índice que se pretende replicar o superar.

Tuesday 23 April 2013

ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO (Tracking Error)

En fondos de inversión o en portafolios indexados a cierto activo o guarismo de referencia, resultaría siempre muy útil saber si nuestra cartera está perfectamente sincronizada y en sintonía con cada movimiento de tal índice de referencia.

Una herramienta muy útil a la hora de medir la eficacia de un fondo o portafolio de activos que pretende replicar un índice o algún activo en particular es el ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO.

Así como podemos calcular la volatilidad histórica de un valor con respecto a sí mismo. El error de seguimiento o de pisteo nos ofrecería una volatilidad cruzada entre las rentabilidades o variaciones en los precios de referencia entre nuestra inversión y un índice de referencia. Ejemplo: un fondo indexado al NASDAQ versus el índice NASDAQ.  La fórmula reza: { Σ[(Ai-Mi)^2] /n}^0.5 no es más que una variante de la fórmula clásica para la desviación típica, donde: Σ[(Ai-Mi)^2] es la sumatoria del diferencial de segundo grado para la rentabilidad entre el activo A en el instante i y el índice M en el instante i y n es el número de datos de la muestra o serie temporal total.

 

Si hay perfección el valor del error tiene que ser = 0 y por lo tanto las correlaciones (PEARSON & SPEARMAN) = 1 entonces la cartera replica perfectamente cada moviemiento del índice. Si la correlación es igual a -1 el valor del error > 0, pero no por ello la replica es imperfecta; siendo inversamente perfecta para productos financieros que cotizan a la inversa del índice de referencia en mercados bajistas.

 

El intervalo numérico para posibles valores del ERROR DE SEGUIMIENTO O ERROR DE PISTEO = ]0, ∞-k]

 

Obviamente cuanto más se aleja el valor del error del cero absoluto resulta menos precisa la réplica y menos eficiente nuestra cartera o fondo de inversión con respecto al índice que pretende copiar.

Monday 22 April 2013

NEW TOOLS FOR SUPPLYING LIQUIDITY TO FINANCIAL MARKETS



The following essay is not intended nor aimed to scholars. Since it is written from the perspective of a practioner to whom you might call financial engineer, financial geek, financial alchemist and so on.
Due to the realism and pragmatism demmanded by the matter in question I will leave conventional theories aside by outlining the current flaws, pitfalls and blunders featured all over first floor banks.
 
Facts and practices caused by several loopholes surrounding Basel Agreements. Then solutions with a minimum inflationary effect or punishment to taxpayers.
 
-Under the current regulation a bank or financial institution allowed to perform passive operations (borrowing from everybody) may eventually employ a financial leverage with a factor equal to 12 against its equity.
 
-Under the old regulation such a leverage was equal to 8, maximum. Both factors are quite wide and they could lead to moral hazard by making legal Ponzi Games, Pyramid Building and Multilevel barters when a bank has no true refund/reimbursement ability since long ago, actually.
 
-When a financial corporation fails and files for bankruptcy the local government or the central bank shoot in a lot of funds belonging to taxpayers by this way substracting resources budgeted for welfare benefits, increasing the amount of monetary base in the financial markets and not increasing the purchasing power of the people. Outcome: Wealth in a few hands and a later inflation phenomenon.
 
-Embedded Investments. The funds not available for anything other than to guarantee payback to savers and creditors. In some countries might cause a constraint against the market cash flow.
 
-Contingencies for Unretrievable Account's Receivables. Such provisions are excellent but do they really have a cash warranty in the corporation's equity?
 
How to supply liquidity by solving the above outlined features?
 
Over The Counter (OTC) operations and Underground Economy. If the stock traded is listed on a market, the forward or warrant contracts must be exercised at such a bourse.
 
The latter matter has to be solved through crime enforcement law against hoax, embezzlement and tax evation. Moral hazard and its arising damage should be deemed with imprisonment.
 
The savings and loans business should behave in the same way a future contract does. There is leverage but it is narrower than that allowed to banks currently. So, the leverage factor should be decreased to 6 as a maximum. Likewise, Shareholders or Owners of Financial Corporations will must supply performance bonds in order to keep grabbing other's people money.
 
If a bank fails to provide performance bonds to guarantee creditors and savers money. It has to be locked or forbidden to accept further cash out of third party hands.
 
If the bankruptcy feature shows up. The pattern to follow has to be equal to that with Mutual Investment Funds. The broke bank has to be acquired or merged with one in good operability situation.
No rescue. No ransom. From either the Central Bank or the National Government.
Embedded Investments. They should be in a range between >> 0 and <<0.15. Linked to daily cash needs in any given financial corporation. Not as a warranty measure.
 
Contingencies for Unretrievable Account's Receivables. They should be covered with economic capital belonging to real taxable equity rather than as an expense in advance merely for accountability procedures.
 
Opening borders to final customers so they can get loans from abroad with no noisy costs, levies, tariffs or fines set up by the local authority. As well as, handling with personal foreign currency accounts overseas.

Surveillance over bank spreads. In some countries a given reference spread is as wide as 20 points, a felony in an efficient, competitive market.
 
The Country's Central Bank buying foreign currencies, Bonds and other debt issued by its National Government. An equivalent maneuver is perfomed through Open Market Operations.
 
The National Government performing a buy-back on old issued bonds and debt in general.
BIS, IMF, WB suggesting Central Banks all over the world to decrease overnight funds rate. It is preferable a low unemployment rate with a moderate inflation and not the opposite fact.

Sunday 21 April 2013

SOME FINANCIAL FOUNDATIONS FOR THE 2008 CREDIT CRUNCH

Although it is a personal policy staying away from hot, burning issues. This situation demmands some tasks and answers to reach solutions affecting THE MARKET as a whole.

It seems that those lessons painfully taught back in 1929, 1973 and 1987 were not learned by both investors and brokers. This crisis has 2 fundamental foundations. On the one hand, the real economy delivering a growing trend of oil and energy prices due to speculation rather than a structural shortage of production. A trend that eventually pumped up transports costs, utilities and manufacturing costs in general; binding corporations and companies to rise final prices. On the other hand, the financial markets gave birth to a couple of financial debt instruments called ABS (asset backed securities) and CDO (collateral debt obligations).

ABS and CDO turned out to be disguised "junk bonds" basically by blending good will mortgages -a few of them- with NINJA (borrowers with No Income, No Job nor Assets) mortgages -a large amount of them- plus a lot of naive savers, and greedy but blind investors willing to buy such alluring masterkeys to wealth. Nevertheless, most of the holders neglected or simply unknew a financial principle and law: the greater the risk, the greater the potential profit.

The risk behind ABS and CDO was due to a lack of a proper warranty other than the houses and buildings themselves. Given the fact that the real estate market was heavily overvalued; most of the holders realized that they had bought a very expensive asset and cash needs were claiming to close positions. By closing, the volume sold of "junk bonds" by large market makers dragged down the whole financial markets so thus, leading the booming prices on commodities and raw materials to an expected crash.

 

How this situation happened? Well, both perfect competition and efficient markets exist in economics books, only. This was real life and a 90% of world economy is based on finance rather than an economy driven by goods & services.

 

On the real economy front, we can find the following practices: Speculation by withholding amounts of fuel, electrical power, commodities and raw materials. Cartels and oligopolies. Lack of regulation or a lawful punishment about practices against gambling with first need goods.

 

On the financial front, we can suffer the following behavior: Fraud by misleading information, lack of performance bonds (real warranties) guaranting the return of the facial value. Not enough technical equity available to perform some operations. Government´s patronage with taxpayers´ funds. Lack of criminal laws prosecuting ventures and corporate gunslingers performing large-scale grifts.

 

All and all, cheap loans are going to be available to the same institutions causing this recession. Taxpayers' money will be used to rescue transnational banks and enterprises but no money will be provided to help customers in broke, swindled or facing difficulties to honor their mortgages. Employments are destroyed at an outrageous rate and welfare benefits are scarce or vanished since long ago.

 

Laws and a financial stimulous retrieving the customer´s trust and other related measures increasing its purchasing power are desperately requested.

Friday 19 April 2013

LA CRISIS ACTUAL, LA RENTA VARIABLE Y SU VALOR SEGÚN EL MODELO DE CRECIMIENTO DE GORDON (GGM)

Dice un axioma del mercado: "El valor justo de una acción es lo que se está dispuesto a pagar por ella" y análogamente como ocurre con la renta fija (letras, títulos del tesoro, bonos y certificados de depósito) el valor presente viene determinado por los ingresos a percibir descontados a la fecha. No se tienen en cuenta los volúmenes de oferta y demanda ni el grado de liquidez del activo.
De acuerdo con lo expuesto por el profesor Myron Gordon el valor presente de una renta perpetua viene determinado por la siguiente expresión. PV = D*(1+g)^t/T / (r - g) donde: (PV) es el valor a la fecha del activo, (D) es el último dividendo, pago o cupón periódico del activo o a cobrar, (g) es la tasa de cambio o variación para D, (t) es el número de días que le faltan o exceden la fecha del dividendo a cobrar o último, (T) es el número total de días en el periodo de g, (r) es el tipo de descuento cuya periodicidad estará en función de D.
Con un caso real se ilustrará el planteamiento anterior. El dividendo esperado de una acción a 1 de noviembre es de 0,1352 habitualmente el pago es trimestral. La tasa de variación histórica trimestral es de 2,603080515024% y el tipo de descuento que aplica el mercado es de 4,2179221007304% trimestral. Saber el valor de esta acción a día 31 de octubre.
vp=0.1352 * (1,02603080515024)^-(1/92) / (0,042179221007304 - 0,02603080515024) = 8,37
El resultado anterior para que sea válido y compruebe el modelo debe coincidir con el valor real de mercado. (g) debe calcularse a partir del histórico de dividendos y aplicando un promedio geométrico en las variaciones, si la periodicidad en los pagos no es constante hay que convertir las variaciones a tasa continua, sumarlas y luego convertirlas a tasa discreta diaria. Siempre se usará el dividendo decretado sino se conoce aún el último pagado, en el ejemplo falta 1 día para cobrarlo entonces se descuenta si ya se hubiera pagado se extrapola el valor a la fecha.
Cualquier aumento o reducción en el tipo de interés clave del Banco Central para operaciones intradía supondrá movimientos en la tasa de descuento en esa misma dirección.
De todo lo anterior, se puede concluir que el precio de una acción puede verse depreciado por: reducción en los dividendos futuros y en su tasa de variación, aumentos en el tipo de descuento consecuencia de la ILIQUIDEZ del activo o generalizada ya sea en el mercado bursátil o en la Economía en su conjunto. Asi mismo, estos aumentos en el tipo de descuento aplicado los puede causar la misma emisora del título debido a malos resultados en los ejercicios contables, INSOLVENCIA o declaración de BANCARROTA

Thursday 18 April 2013

APT (ARBITRAGE PRICING THEORY): MODELO Y POSIBLES EXPLICACIONES HIPOTÉTICAS. PARTE 2

El planteamiento general, algebraico, nos dice que el modelo se expresa así: E(rj) = rf + bj1RP1+bj2RP2+....+bjnRPn esta condición es necesaria para calcular la rentabilidad final en la siguiente expresión: rj = E(rj)+bj1F1+bj2F2+....+bjnFn+€j en donde cada argumento se interpreta como: E(rj) = rentabilidad esperada del activo o portafolio, rf = tasa libre de riesgo, bj(1,2...n) = coeficientes de sensibilidad del activo con respecto a cada factor macroeconómico incluido en el modelo, RP = prima por riesgo de cada factor, F = cada uno de los factores macroeconómicos incluidos en el modelo, €j = ruido blanco o error del modelo y rj = última rentabilidad causada que se pretende explicar.
El modelo es redundante y complicado. Redundante porque E(rj) según la ortodoxia matemática y estadística puede calcularse como un promedio histórico de las rentabilidades causadas, en lugar de la expresión compleja que se ofrece al usuario. Las complicaciones surgen con los "bjs"los cuales tienen que calcularse vía regresión lineal, siempre y cuando el factor asociado muestre un índice de correlación fuerte >0,8 o >-0,8.
Los factores macroeconómicos "Fs" no pueden superar el número de activos negociados y se sugiere podrían ser: la tasa de inflación, tasa de variación del PIB o PNB, variaciones en el índice de confianza del consumidor, variaciones en los precios de los títulos del banco central, apreciaciones o depreciaciones de la divisa local, diferencial entre las tasas a corto y largo plazo del banco central y cualquier otra variable que exhiba correlación fuerte.
Los "RPs" y una vez obtenido los "Fs" y "bjs" , se calcularían por ejemplo RP1=F1/bj1F1+bj2F2+bjnFn. Este proceso no sería necesario ya que calculando el promedio geométrico histórico de las rentailidades ya causadas se obedecen los canones.
€j es el ruido blanco o error del modelo, análogo a la variable aleatoria usada en los modelos heurísticos. En este caso se transforma en variable de enchufe para ajustar cualquier disparidad entre el rj del modelo y el rj real.
Ejemplo: la acción de la Corporación aserruchar en sus 5 años de entrada en bolsa ha causado las siguientes rentabilidades medias por año. 4%, 6%, 7%, 4,5% y 3%. Entonces E(rj) = (1.04*1.06*1.07*1.045*1.03)^1/5 = 1,0489029322003321845138805737838. Es decir, 4,8902.....%
rj=0.0489029322003321845138805737838+(1,2*0,11)+(0,9*0,08)+(1,5*0,02)+(1*0,06)+(1,3*0,09)+€j
Los factores no se han calculado siguiendo la regla de la regresión lineal por mínimos cuadrados ordinarios. Simplemente se colocan como muestra desplegable.
El primer "F" es la tasa de crecimiento del PRODUCTO NACIONAL BRUTO, el segundo "F" es la tasa de crecimiento del PRODUCTO INTERNO BRUTO, el tercer "F" la tasa de crecimiento demográfico, el cuarto "F" la tasa de inflación y el quinto "F" la tasa interbancaria de referencia para operaciones activas.
Se pueden agregar los n factores que se quiera siempre y cuando no superen el número de títulos negociados en el mercado. Al final para conocer el valor de €j, que es la clave del modelo, urge saber el valor de rj el cual es la razón de ser del modelo APT. La ineficiencia en los algoritmos y pretender explicar martingalas a partir de un modelo heurístico son las imperfecciones en el paradigma APT.

Wednesday 17 April 2013

APT (ARBITRAGE PRICING THEORY): MODELO Y POSIBLES EXPLICACIONES HIPOTÉTICAS. PARTE 1

Alternativamente al modelo CAPM de Markowitz, Sharpe y Treynor y a la variante de este desarrollada por Eugene Fama y Kenneth French; surge LA TEORÍA DE VALORACIÓN POR ARBITRAJE (APT por sus iniciales en inglés), la cual es de gran utilidad cuando el activo o portafolio del cual se busca explicar su rentabilidad no transa en los mercados bursátiles o bien su negociación no se hace en forma periódica y pública.
Al igual que el CAPM, APT es un modelo heurístico que busca explicar cierta rentabilidad causada -pero a diferencia del CAPM- a partir de factores macroeconómicos y/o microeconónmicos dejando de lado variables mas propias de los mercados financieros. Este último planteamiento es idea original del Dr. Stephen Ross y desarrollada asi mismo por los doctores Chen y Roll.
El postulado y paradigma fundamental del APT nos dice que: (rj - rf)/βj = (rk - rf)/βk = (rn - rf)/βn , en donde: rj,rk y rn son las rentabilidades para los activos j, k y n (último) de un mercado financiero cualquiera; rf es la tasa libre de riesgo del mercado y βj, βk y βn son las betas o coeficientes de apalancamiento de esos activos.
En otras palabras, la razón Treynor de cualquier activo que pertenezca al mismo conjunto de valores ha de ser igual a la de los demás y entre sí. Por lo tanto, salvo fricciones o ruidos en un mercado eficiente y con competencia perfecta es casi imposible obtener beneficios amplios por cuenta del arbitraje -directo o cruzado- y mucho menos que estos se mantengan a largo plazo.
De lo anterior, la táctica esencial que se propone es identicar 2 activos uno sobrevalorado y otro subvalorado de manera que el agente venda el activo caro y compre el que está barato, haga caja con el margen y cuando haya corrección, cerrar las posiciones en cada operación previa y volver a embolsillarse la ganancia.
De ahi que el modelo no obedezca al canon del arbitraje ortodoxo, "beneficio garantizado con cero riesgo", pues parte de la premisa de "arbitraje en expectativas" en donde se compra o se vende un activo con la esperanza de que el mercado corrija el precio de ese activo que se aleja del valor del modelo. Así las cosas, el plantemiento recae en los terrenos de la especulación.

Tuesday 16 April 2013

CAPM, MODELO FAMA-FRENCH Y OTROS. PARTE 2

Un ejemplo para ilustrar el híbrido entre el modelo CAPM Y FAMA-FRENCH.                           Dado: Ra = Rf + βa*(Km-Rf) + α
Las acciones de la firma ASERRUCHAR presentan una desvalorización intradía de -1,2051002214865%, la variación intradía del indice de referencia es de -2,5237493110268%. El día anterior las cifras respectivas fueron -1,98414127677132% y -0,476530363322103. Resolver Y Probar el modelo.
Primero hemos de calcular COVARIANZA para (Ra,RM) y la varianza para Rm y poder calcular βa. Esos valores son: cov(ra,rm) = 0,0000398721002774095 y varianza para Rm = 0,000104780464473044. βa = cov(ra,rm)/varianza(rm) = 0,380529905817197
Ahora procede calcular Rf según la siguiente expresión: (Ra-Rf)/βa = (Rm-Rf)/βm. Entonces:
(-0,012051002214865-Rf)/0,380529905817197 = (-0,025237493110268-Rf)/1 y despejando tenemos que Rf = arroja un valor negativo. Lo cual no se acepta por absurdo en este caso se toma entonces por defecto el tipo que pagaría el banco central por operaciones a 1 día en este caso = 0
-0,012051002214865=0 + 0,380529905817197*(-0,025237493110268 - 0) + -0,00244738133855256
Nuevamente se recomienda por ortodoxia y pragmatismo no usar como indice de rentabilidad del mercado, el índice de accionario o bursátil común, pues estos no incluyen la totalidad de activos tranasados. Siendo lo ideal uno que si los incluya todos o las variaciones pueden calcularse a partir del cambio de volúmenes consolidados negociados en bolsa.
Si el activo a valorar no negocia en mercado electrónico organizado se ha de tomar como referencia la rentabilidad de la economía en su conjunto: variaciones en el PIB en términos nominales.
El tipo libre de riesgo como acabamos de ver en el ejemplo no puede ser negativo. Es un valor > o =0 pero <Rm, si Rm es positivo. El alpha de Jenssen o α es un valor que incluye las variables que deberían tenerse en cuenta y no se incluyeron en el modelo. Sirve como variable de enchufe entre el valor calculado y el valor real.
Al igual que con los modelos heurísticos, este modelo solo debe usarse para simular el pasado. Siempre y cuando los datos hagan parte del conjunto. Es erróneo y temerario usarlo como modelo de pronóstico.
En el ejemplo lo hemos usado para un caso puntual pero también puede desplegarse vía regresión lineal por el método de mínimos cuadrados ordinarios. Asumiendo que los datos causados y pasados condicionen el último valor.

Sunday 14 April 2013

CAPM, MODELO FAMA-FRENCH Y OTROS. PARTE 1

Aunque hace tiempo ha debido ser tratado en este blog, por fin es el turno para el padre de los modelos de rentabilidad para activos financieros: CAPM, nacido de las mentes de los doctores Markowitz, Miller, Sharpe, Treynor, Jenssen, Lintner y Mossin.

En inglés significa Capital Asset Performance Model y parte de la premisa que la rentabilidad causada o esperada de un activo está en función de la tasa de rentabilidad libre de riesgo del mercado, la rentabilidad del conjunto de valores al que pertenece el activo y del coeficiente de apalancamiento del diferencial entre activo y mercado.


Y lo más importante, el riesgo de evento. Todo lo anterior empleando datos causados.

Ra = Rf + β*(Rm - Rf) + α
DONDE: Ra es la rentabilidad causada o esperada de un activo cualquiera, Rf la tasa o tipo libre de riesgo del mercado (NO EL VALOR DE REFERENCIA DEL BANCO CENTRAL), Rm es la rentabilidad del conjunto o indice al cual pertenece el activo, β es el coeficiente de apalancamiento y α es el alfa de Jenssen (riesgo de evento)

Algunos profesionales y académicos utilizan temerariamente este modelo para predecir rentabilidades futuras sin tener en cuenta que es de naturaleza HEURÍSTICA y sólo sirve para explicar situaciones pasadas. He ahí una de las falacias del modelo.
Numéricamente y al ejecutar el modelo, sólo el valor de β y α son diferentes dado un conjunto de activos. Mientras el segundo es un dato aleatorio, el primero puede calcularse de 3 maneras: 1.Desarrollando la fórmula donde β = covarianza(ra,rm) / varianza(rm) 2.Vía regresión lineal aplicando Mínimos Cuadrados Ordinarios. 3.Despejando el modelo y dejando las demás variables en función de β
Considerando que el modelo no era completo los doctores Eugene Fama y Kenneth French ofrecieron una alternativa más larga y compleja del modelo pero quizás redundante, a continuación el esquema planteado por ellos.
Ra = Rf + βm*(Km-Rf) + bs*SMB + bv*HML + α

Donde: βm es el coeficiente de apalancamiento entre el activo y el mercado bursátil en total no un índice o un conjunto, SMB es el diferencial de rentabilidades entre los activos de baja capitalización y los de mayor capitalización, HML es el diferencial entre los activos con Q-Tobin mayor y los activos con Q-Tobin baja, bs y bv son los coeficientes de apalancamiento(βs) entre el activo y los valores para SMB y HML.

Los creadores de este modelo recomiendan calcular las Beta y las b a partir de una regresión.

Este modelo si bien es más completo que el CAPM es más dispendioso y más subjetivo en la elección de variables pués SMB y HML no cumplen los mismos requisitos para todos los mercados, si bien el cálculo es igual, su elección no se fundamenta en parámetros o criterios matemáticos generales sino en imperativos jurídicos.
Por otro lado, al incluir la variable Km lo demás resultaría redundante. Así planteado el nuevo modelo se leería: Ra = Rf + βm*(Km-Rf) + α Si el activo que vamos a explicar no se encuentra cotizado o transado en bolsa o mercado electrónico; Km será la rentabilidad de la economía en su conjunto en términos nominales y Rf es Km con volatilidad cero.

Saturday 13 April 2013

SOLVENCIA, PATRIMONIO LIQUIDO, CAPITAL ECONOMICO O PATRIMONIO TECNICO

Este tema deberia tratarse en el mundo de la contabilidad dada las implicaciones legales y tributarias que conlleva. Haciendo la salvedad se va a ofrecer una pincelada acerca de las definiciones detras de cada noción.

La solvencia se define algebraicamente como L/E, donde L es el pasivo total o el sumatorio de todas las deudas y E es el patrimonio o capital total de los socios, firma o persona. A la misma fecha. Nuevamente la ortodoxia aritmética sugiere un cociente igual o menor que 1, pero esto puede variar en función de los valores históricos de la industria, de la propia empresa o en virtud de parámetros legales.
Del párrafo anterior y como otra medida de respaldo y cobertura surge el concepto de PATRIMONIO LIQUIDO que tributariamente puede definirse como el total de Activos menos la totalidad de Pasivos como quiera que esta diferencia debe ser positiva y es utilizada por banqueros y agentes fiscales pues puede dar una idea del capital propio de la empresa para pagar deudas venideras o contingencias futuras.
El CAPITAL ECONOMICO es el conjunto de recursos materiales y monetarios propiedad de los socios o de la firma con los que resulta necesario iniciar operaciones en determinado sector o en cumplimiento de requerimientos y no necesariamente coincide con el valor total real de la cuenta patrimonial.
Desde aqui, surge el concepto de PATRIMONIO TECNICO (E>>e) el cual resulta ser el valor mínimo en balance general de la cuenta de patrimonio con respecto al total de los activos o de los pasivos que garantiza y permite la operabilidad en el mercado; obedeciendo disposiciones de ley o tratados internacionales para industrias reguladas. Se busca con todo lo anterior la buena fe y la capacidad de pago para con acreedores, empleados, clientes y socios. E es el valor total del PATRIMONIO O CAPITAL SOCIAL Y e el mínimo legal u operativo.

Friday 12 April 2013

LIQUIDEZ: CAPITAL NETO DE TRABAJO, CAPITAL DE TRABAJO, RAZÓN CORRIENTE Y PRUEBA ACIDA

No se puede operar única y exclusivamente con fondos de terceros, tal heterodoxia financiera conduciría inevitable e invariablemente a la disolución y liquidación de cualquier negocio, emprendimiento o estrategia de especulación. Retomando el hilo habitual de esta bitácora, convendrá reestudiar indicadores que aproximan al analista la cantidad de efectivo con la que una empresa ha de cubrir sus necesidades y honrar sus obligaciones con proveedores, empleados y acreedores.
De este enlace se desprende que para finales de 2006 el CAPITAL NETO DE TRABAJO de esta empresa = 19'062.000 resulta de sustraer ACTIVO CIRCULANTE (AC) - PASIVO CIRCULANTE (PC), es decir aquellas cuentas consolidadas a ambos lados del balance general con aplicabilidad o ejecutabilidad inferior a 1 año. Aritméticamente la diferencia entre AC-PC > 0.
No obstante, lo anterior no nos indica el valor real del CAPITAL DE TRABAJO (CT) con el que cuenta la empresa, este dato es solo para efectos contables, fiscales y legales. El capital de trabajo está determinado por el FLUJO DE CAJA de la empresa, dependerá de los requisitos presupuestarios y será función de las necesidades REALES DE INVERSIÓN (I), FINANCIACIÓN (F) Y OPERACIÓN (O) de la empresa. Así las cosas, CT > I+F+O
Anexo a estos indicadores también están los de cobertura, en donde la ortodoxia aritmética señala que el valor de cada cociente sea igual o mayor a 1 o al menos superior al promedio de la industria.
La razón corriente = AC/PC y la prueba ácida clásica= (AC - INVENTARIOS)/PC, en este último paradigma se ha relajado y pragmatizado mucho el tema "inventarios" y algunos avalistas optan por usar un porcentaje del total del ACTIVO CORRIENTE como aplicable dentro de plazo.
Para el caso de las cifras en análisis, la razón corriente = 1,39583 redondeando y la prueba ácida con un factor de realización del 80% = 1.11666. Muy buenas índices en todos los casos, quizás por que se trata de una empresa de combustibles.
Por otro lado, la liquidez de un activo negociado asiduamente en los mercados financieros viene determinada por la variación en los precios de negociación y variación de volúmenes, donde: L(a)=f(d%P, d%V) siendo los márgenes de contribución ponderados una consecuencia de lo anterior también se puede medir la liquidez como L(a) = f(P*V1-P*V0) sean P*V1 el último valor del volumen negociado y PV0 el valor del volumen inmediatamente anterior.

Thursday 11 April 2013

INFACTIBILIDAD DE LOS PLANES DE PENSIONES Y OTROS SERVICIOS SOCIALES SIN APOYO GUBERNAMENTAL

Habitualmente, no es materia de análisis de esta bitácora la crítica a legislaciones, actos gubernamentales y demás disposiciones de orden estatal institucional. Debido a ciertos debates reactivados sobre la conveniencia o no de LA SEGURIDAD SOCIAL y de la sostenibilidad de esa entelequia en el tiempo, se hará una excepción.
 
El paradigma tradicional defiende a capa y espada la prestación de los servicios básicos y esenciales de: SALUD, SANIDAD, PENSIONES, MADRES SOLTERAS, VEJEZ Y NIÑEZ ABANDONADA, DESEMPLEO Y CAPACITACIÓN; impartidos y prestados por el Estado, financiados enteramente con los PRESUPUESTOS DE LA NACIÓN y controlados y vigilados por EL GOBIERNO.  La idea no es del todo descabellada, pero el tiempo y la práctica demostraron que solo son realizables en ENTES TERRITORIALES PEQUEÑOS tipo SINGAPUR, HONG-KONG O BRUNEI. Incluyendose algunos paises de, bajísimos, por no decir inexistentes niveles de corrupción.
El paradigma neoclásico o monetarista radical defiende LA ERRADICACIÓN total de esos servicios o su traslado íntegro al sector privado y los particulares. Financiandose exclusivamente de los aportes de la empresa y el trabajador. Y esta es la gran carencia de este concepto. Si el gobierno, el estado o la nación no intervienen en lo absoluto; que sentido tiene pagar impuestos, gravámenes y tributos??
Los planes de pensiones nacen en tiempos del imperio romano y estaban reservados exclusivamente para los funcionarios públicos (militares y civiles) en donde los fondos provenían del trabajador y del IMPERIO. Al caer el IMPERIO las pensiones quedaron reservadas a los "nobles" y "señores feudales" y tímidamente comenzaron a constituirse los PRIMEROS FONDOS DE PENSIONES PRIVADOS donde los trabajadores eran el único soporte y sostén de ese sistema como ocurre en la actualidad.
Tras la GRAN DEPRESION de 1929, The New Deal de Franklin Roosevelt creó un sistema de pensiones de prima media OBLIGATORIO en el que el trabajador, la empresa y la nación aportarían a un sistema de RETIRO laboral cuando la edad del cotizante así lo obligase o alguna incapacidad sanitaria le impidiera trabajar antes de la edad de retiro. El gran error de este planteamiento ortodoxo, prudente y diversificado fue EL DE ESTABLECER UN FONDO COMÚN en lugar de constituir cuentas individuales que otorgasen una mesada pensional acorde a los aportes del cotizante y no de los aportes del conjunto de generaciones presentes, es decir, las que están laboralmente activas y ocupadas. En forma similar la protección estatal llegó a otros paises.
De lo anterior, con el paso del tiempo y la reducción en la natalidad de las familias, este esquema PIRAMIDAL ya no era perdurable ni perpetuable pues el déficit en algún punto se volvería inmanejable y eventualmente arrastraría a la bancarrota a la ECONOMÍA en su conjunto.
Al arraigar y colisionar las corrientes MONETARISTA, COMUNISTA y CONSERVADURISTA, surge de ese híbrido entre los 3 la ECONOMÍA MIXTA. Empresas en donde participa el sector público y el privado.
La solución a los fallos y falencias a los sistemas actuales pasarían entonces por dejar el tema de las PENSIONES OBLIGATORIAS administradas por particulares en régimen de cuenta individual PERO FINANCIADAS con aportes de empresas, trabajadores y recursos del ESTADO. Con vigilancia y regulación a los fideocomisarios por parte de los organismos de control del GOBIERNO. Y garantizando una rentabilidad y/o pensión mínima al alcanzar la condición de JUBILACIÓN.
El sector salud en esquema similar al anterior. Hospitales, clínicas y centros asistenciales administrados y apropiados por particulares, vigilados por el gobierno y enteramente financiados con aportes de trabajadores, empresas y presupuestos nacionales. Así se lograrían 2 objetivos: CALIDAD (la más alta) Y COBERTURA (casi el 100% de la población)
Si no hay efectos redistributivos de la riqueza nacional; hay alguna razón de ser para las OBLIGACIONES FISCALES o la existencia misma del Estado y del Gobierno que le administra a este? 

Wednesday 10 April 2013

EMPIRICAL COPULAS FOR A DIVERSIFICATION SCHEME (PART 2)

How does the algorithm work when the matter is: DIVERSIFICATION?
Easy, You should learn some basic rules about HEDGING & DIVERSIFICATION. On the one hand, if your lead asset needs a hedge, try to look for an asset with a CORRELATION quite near to 1 or -1. On the other hand, if you want to invest the same money in two or more assets or anymore cash will be invested in assets different to your current portfolio standings, try to look for an asset with a CORRELATION near to 0. Hence, volatilities values by themselves are NOT CRUCIAL FIGURES.
A huge difference arising here are the shares percentages or weights of each asset. While when hedging, the hedge ratio is deployed and the position (either long or short) comes defined by the direction of the related correlation value; such a scheme does not apply when you are solved to diversify.
The latter situation demmands OPTIMIZATION or a predefined total return/total risk ratio to find out the weights of each element belonging to the ensemble. The position to be held comes defined by THE RELATIVE STRENGHT INDEX.
In the real world you wil never find a couple of assets with a perfect CORRELATION. But the indifference or neutral zone is given by the following interval: ]-0.5;0.5[
Hopefully, this example will explain COPULAS for a DIVERSIFICATION PROCESS.
An investor holds a portfolio labeled: Emerging Market Index (EMI), the investment pool has solved to diversify by entering a short position in a portfolio labeled: Technological Market Index (TMI) The Gaussian Correlation between EMI & TMI = -0.0277737277896621. The probabilities for both indexes are in the event of a success: EMI = 0.607216494845361 & TMI = 0.579381443298969. In the event of a default: EMI = 0.392783505154639 & TMI = 0.420618556701031. The investment pool concluded with a 50/50 position in both assets.
Copula value for a succes of such an ensemble? Copula value for a default of such an ensemble? Copula value for a succes of one portfolio and a default of the remainig one?
First, lets start by building the probability space:
(0.607216494845361*0.5 *0.579381443298969*0.5) = A
( 0.392783505154639*0.5 *0.420618556701031*0.5) =B
( 0.607216494845361*0.5 *0.420618556701031*0.5) =C
( 0.392783505154639*0.5 *0.579381443298969*0.5) =D =0.25. The logics here are a bit tricky since you have a short position, both values have been calculated assuming a long postion in the couple.
For the first scenario asked: C/0.25 =0.255406525666915
For the second question asked: D/0.25 = 0.227571474120523
For the last question: A+B/0.25 = 0.517022000212562
Finally, a few warnings. If by luck you are handling 2 assets with correlation = 0 or among the neutral zone; you have got 4 scenarios with near equal chances to happen. But if you are hedging, and your 2 assets have a correlation either equal to 1 or -1, you have to build 2 scenarios only and 2 scenarios are feasable to happen!

Tuesday 9 April 2013

A BRIEF INTRODUCTION TO COPULAS FOR FINANCIAL AFFAIRS (PART 1)

So, this time around I am going to deploy a couple of examples about COPULAS in real life and for practical financial purposes by reviewing some ideas belonging to Dr. David Li and his groundbreaking works on the matter. Furthermore, the main idea behind the concept states the possibility to link 2 ensembles or 2 time series. How? CORRELATION. Which values? UP and DOWN PROBABILITIES or SUCCESS and DEFAULT PROBABILITIES.
Why? A Conventional Statistical Approach assumes correlation = 0 in any case or if correlation is available such a value is not taken into account (This is, the 2 or more sets linked are thoroughly independent among themselves. There is not a pattern at all!) Therefore, through this focus, one never knows the accurate joint probability for a given scenario in particular.
The following example with 2 traded benchmark indexes: Emerging Markets Index (EMI) has a historical probability of 0.634020618556701 to succeed and a probability of 0.365979381443299 to fail. While Domestic Markets Index (DMI) has a historical probability of 0.81340206185567 to succeed and a probability of 0.18659793814433 to fail. The value for the PEARSON PRODUCT between EMI and DMI is = 0.955177393671544. The portfolio shares show EMI with a 40% weight and DMI with a 60% weight. How much is the joint probability for a success on both indexes? How much is the joint probability for a failure on both indexes? How much is the probability for a failure on an index and a succes on the remaining one?
Tricky and capscious taks but not impossible to solve! The investor has a long position on EMI and a short position on DMI.
First, the PEARSON PRODUCT (lineal correlation) has to be turned into a GAUSSIAN PRODUCT (normal correlation). The formula tell us: 6*ASIN( 0.955177393671544/2)/ ¶ = 0.950934469164048. Hence, we have to build a probability space by taking into account all of the odds and weights.
So thus,the eventual outcomes should be: 0.950934469164048*(0.634020618556701*0.4*0.81340206185567*0.6)+0.950934469164048*(0.365979381443299*0.4*0.18659793814433*0.6) +0.0490655308359519 *(0.634020618556701*0.4*0.18659793814433*0.6) +0.0490655308359519 *(0.365979381443299*0.4*0.81340206185567*0.6) = 0,138182689990975 This is what is worth the probability space (a nummerical value around 0 and 1).
Now we can answer the questions: 0.950934469164048 *(0.634020618556701*0.4*0.81340206185567*0.6) / 0,138182689990975= 0,851759211870039 +0.950934469164048*(0.365979381443299*0.4*0.18659793814433*0.6) / 0,138182689990975 = 0,964549484951555 This is the joint probability for a success with one asset and a default with the remaining one. Rememeber, we are taking short position on DMI.
0.0490655308359519*(0.634020618556701*0.4*0.18659793814433*0.6)/0,138182689990975 = 0,0100819449748797 For a success on both assets.
+0.0490655308359519*(0.365979381443299*0.4*0.81340206185567*0.6) /0,138182689990975 = 0,0253685700735654 For a failure on both assets.
The framework above is quite useful for HEDGING AND DIVERSIFICATION, the latter is different because you have to build 4 (correlation = 0) or 8 scenarios. All scenarios have the same chances to happen regardless of what position is held (LONG OR SHORT). When correlation is negative, such a value is implying different movements as a rule. Two scenarios are possible when correlation equals accurately -1 or 1

Monday 8 April 2013

GESTIÓN DE RIESGO: VOLATILIDADES, CORRELACIONES, COBERTURAS Y DIVERSIFICACIÓN DE CARTERAS

Cubrir o diversificar un portafolio no comienza eligiendo el activo o derivado que complementa a la cartera o activo base. El proceso inicia a partir de la elección del activo base en sí mismo en virtud de su rentabilidad histórica y/o potencial y el riesgo total causado y/o esperado.

Elegir el activo y/o derivado base se ejecuta con la ortodoxia que nos brinda el comportamiento histórico de los valores negociados en bolsa. Conocer la volatilidad explícita e implícita, pero por sobretodo LOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS de todos los tiempos de cada valor nos ayuda a definir, establecer y quizás determinar el espacio de probabilidades o intervalo por donde gravita un intangible.

La rentabilidad de una acción viene dada por la media geométrica o aritmética de las variaciones en el precio de cierre o de referencia. Las bandas o líneas imaginarias de SOPORTE Y RESISTENCIA vendrán determinadas por las rentabilidades máximas y mínimas de cada sesión.

El planteamiento elemental de la TEORIA DE PORTAFOLIO NOS DICE QUE EL RIESGO PARA UNA CARTERA DE 2 ACTIVOS O 2 CARTERAS, VIENE DADO POR: w1^2*a^2 +2*w1*w2*cov(ra,rb) +w2^2*b^2, donde: w1 y w2 son las ponderaciones de los títulos en la cartera con cifras entre 0 y 1, la sumatoria entre w1 y w2 = 1; a es la varianza del activo w1, b es la varianza del activo w2 y cov (ra,rb) es la covarianza entre los activos w1 y w2 (rentabilidades). La volatilidad explícita para este conjunto lo determina la raíz cuadrada de este RIESGO TOTAL.

Ahora, el riesgo y la volatilidad implícita causadas lo arroja la siguiente expresión, igual a la anterior pero con un cambio de signo: w1^2*a^2 -2*w1*w2*cov(ra,rb) +w2^2*b^2. Al margen de si la posición es corta o larga en los valores. Este concepto riñe con la idea generalizada en los mercados; volatilidad implícita es la volatilidad que se espera que ocurra por el cambio de un precio a otro.

Aparejado a todo esto surge el concepto de RIESGO RESIDUAL = σe^2 - (σm*B)^2 donde: σe^2 es la varianza o riesgo total de las rentabilidades del activo e, σm es la volatilidad de las rentabilidades del mercado o índice representativo del conjunto al cual pertenece e y B es la "beta" o cociente de apalancamiento entre la rentabilidad del activo con respecto al conjunto al que pertenece. La VOLATILIDAD RESIDUAL causada es pués la raíz cuadrada de la expresión anterior.

No obstante, y aunque estas fórmulas y resultados son importantes. EL ASPECTO FUNDAMENTAL a tener en cuenta a la hora de realizar una COBERTURA O DIVERSIFICACIÓN son las correlaciones que hay entre el valor base y el vehículo con el que se desea inmunizar o asegurar un beneficio venidero.

Las volatilidades en las rentabilidades a tener en cuenta son las máximas. Lo cual obliga ha dejar de lado el concepto de volatilidad esperada (σ) que nace como la desviación típica de toda la serie histórica de datos.

Ejemplo: un conjunto o serie temporal arroja los siguientes datos. -10, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 ,20. La volatilidad máxima aqui estará determinada por una desviación típica muestral (s) = 15 mayor que la desviación típica esperada = 6,81999975764038. Para la desviación muestral solo se tienen en cuenta los 2 datos mas alejados entre sí y no todos los datos de la agrupación.

Para realizar una buena cobertura o diversificación NECESITAREMOS la CORRELACIÓN entre los precios de referencia de los valores a combinar, originalmente se utilizaba el producto PEARSON= cov (Pa,Pb)/(σa*σb) donde: σa y σb son las volatilidades o desviaciones típicas en el PRECIO de cada valor y cov (Pa,Pb) es la covarianza entre los PRECIOS de los 2 valores.

Aquí hay que aplicar un poco de estrategia cuantitativa. El intervalo de cualquier correlación oscila entre estos dígitos -1;1 en donde: -1 indica que el comportamiento temporal entre los valores es perfectamente inverso, 0 indica independencia y aleatoridad total, 1 indica que el comportamiento temporal es perfectamente directo.

Si la idea es realizar una COBERTURA interesa que la correlación entre las carteras sea lo mas cercano a 1 o -1 Pero si la idea es diversificar un activo o posición ya existente lo ideal es que la correlación se acerque a 0.

La fórmula propuesta nos indica que la razón de cobertura = r*(sa/sc) donde: r es la correlación NORMALIZADA de los precios de referencia, sa la volatilidad máxima de las rentabilidades del activo y sc la volatilidad máxima en las variaciones del seguro.

Nótese que se sugiere la utilización de la correlación NORMALIZADA y no el de Pearson. Con esta transformación se busca establecer el grado de afinidad entre dos series en términos Gaussianos, mientras que el producto Pearson es estrictamente lineal.

NORMALIZACIóN = 6*ASIN(P/2) /π donde: ASIN es la función trigonómetrica ANTISENO, P es la correlación lineal o producto pearson y π es el número pi.

Una vez obtenida la razón de cobertura se procede a rebalancear el portafolio en tales proporciones

Saturday 6 April 2013

MADUREZ, DURACIÓN Y CONVEXIDAD DE UN TITULO DE RENTA FIJA: PARTE 2 (RE-EDITADO)

La variación en el precio de un BONO O título de deuda cualquiera puede expresarse como una función de su DURACIÓN Y SU CONVEXIDAD. Lamentablemente, el enfoque tradicional hace INEFICIENTE el despliegue de las fórmulas y del algoritmo que permite el cálculo de la variación en el precio de un ACTIVO FINANCIERO con tipo de interés conocido.
El Doctor Donald Chance ha querido retomar el proceso de MADURACIÓN y ha concluido que el precio buscado ha de estar en función de la DURACIÓN MODIFICADA Y DE LA CONVEXIDAD MODIFICADA.
Las fórmulas planteadas serían: Dm = (td/Ad) / (1+r)^(pc/Ad) y Cm = (2*(td/Ad)^2) / (1+r)^(2*pc/Ad) donde: Dm = duración modificada del ACTIVO, Cm=convexidad modificada, td= tiempo faltante para la expiración de la obligación en días, Ad= Año en dias: 360, 365 o 366, r = tipo anual efectivo de descuento, pc=periodicidad de pago de los cupones en días. Lo anterior supone capitalización compuesta en tiempo discreto.
Expuestas las fórmulas; el algoritmo final que explica la variación en el precio de un TÍTULO DE RENTA FIJA viene dado por una SERIE DE TAYLOR <>BP= Cm/2*(<>r)^2 - Dm*(<>r) donde: <>BP=tasa de variación en el precio del bono, Cm= convexidad modificada, Dm= duración modificada y <>r = diferencial entre la última tasa de descuento y la anterior.
Retomando el ejemplo de la primera parte de este artículo calcularemos la variación en el precio para el día 3. Los precios del CERTIFICADO DE DEPÓSITO en cuestión son los siguientes: 971,872102879122 dia 2, 972,302119925843 dia 3. Madurez en 3 años o 3*365=1095 días. Tipo de descuento para el día 2: 6.009% y para el día 3: 5.999%. Valor De Maduración: $1157,625
Dm=(1094/365)/(1.06009) = 2,827363973 años y Cm=2*(1093/365)^2 / (1.05999)^(2*1093/365) = 12,6517692244588 años
<>BP= [12,6517692244588/2 * (0,0582594741172115-0,0582594741172115)^2]
- [2,51513113221347 * (0,0582594741172115 - 0,0582594741172115)]
Los Resultados no parecieran coincidir con la fórmula básica <>BP=BPt1/BPto. Incluso usando las fórmulas originales...........Elegir por defecto la fórmula básica, por eficiencia....
Usando sólo Dm  <>BP=-2,827363973*0.05999-0.06009=0.0002827363973 es la variación relativa



Entonces si resulta redundante e impreciso calcular la sensibilidad del precio de un intrumento de renta fija , de una fecha a otra, para què calculamos la duraciòn y la convexidad del mismo???

1. INMUNIZACIÓN.  Todo instrumento por si solo lleva aparejado un valor mayor que cero de Duración.  La idea de proteger una posiciòn que va a ser liquidada antes de alcanzar la MADUREZ, es tomar otra posiciòn complementaria en la cual , la DURACION de ese nuevo portafolio = o ~  0 (cero)

Las variaciones en las tasas de mercado , no deben afectar los valores a recibir , el dìa de liquidaciòn del portafolio.

2. ESTRATEGIA BARBELL. Replicando la Duraciòn de un tìtulo del tesoro, certificado de depòsito o bono corporativo, a partir de dos tìtulos: uno de mìnima duraciòn y otro de màxima duraciòn.  Se busca conformar un portafolio con una CONVEXIDAD mayor que la del tìtulo que se replicò.

Ejemplo:  En el mercado de tìtulos del Gobierno Nacional De Caconia solo se emiten 3 tìtulos, segùn Madurez.

Madurez: 2 años   Duración: 1,9 años  Convexidad: 0,05
Madurez: 5 años   Duración: 4,1 años  Convexidad: 0,25
Madurez 10 años  Duración: 7,5 años  Convexidad: 0,95

Un especulador quiere comprar el título 2 y el título 10, replicando la Duración del título 5.

La ecuaciòn es:  X*1,9+(1-X)*7,5 = 4,1     Aplicando Goal-Seek en cualquier hoja de cálculo X = 0,607143

Obtenemos la convexidad:  X*0,05+(1-X)*0,95 = 0,403571  .  Es mayor que la del tìtulo replicado.
Què significa esto?   que cualquier variaciòn en las tasas de mercado surtirà un mayor impacto en el precio del portafolio.  Mayor que el que se sufriría si , solo se hubiera, comprado el título al que se le replicó la Duración.


Agradecimientos: Professor Donald Chance y Profesor Kevin Dowd.

Friday 5 April 2013

MADUREZ, DURACIÓN Y CONVEXIDAD DE UN TITULO DE RENTA FIJA: PARTE 1

DEFINICIONES, ORIGENES Y ENFOQUE TRADICIONAL:

Para el artículo de este mes, vale la pena retomar 3 conceptos clave en el análisis de BONOS, CERTIFICADOS DE DEPOSITO, TITULOS DE TESORERÍA, PAPELES COMERCIALES Y RESTO DE OBLIGACIONES CON VENCIMIENTO Y CUMPLIMIENTO A PLAZO.

LA MADUREZ hace referencia a la fecha en que se recuperará el CAPITAL INVERTIDO Y TODO O PARTE DE LOS INTERESES DEVENGADOS. La DURACIÓN nos indica cuando se recuperará EL CAPITAL Y LOS INTERESES ante variaciones de la tasa de descuento en el mercado o por incumplimiento o postergación en los reintegros del VALOR FACIAL Y LOS CUPONES. Ambos conceptos se miden en unidades de tiempo.

La CONVEXIDAD es la curva o el atributo que surge de la relación inversa entre los factores de descuento y puede identificarsela como la derivada de la DURACIÓN.

Por ley general, LA MADUREZ Y LA DURACIÓN EN UN CERTIFICADO DE DEPÓSITO SIN CUPONES O QUE PAGA INTERESES UNICAMENTE AL VENCIMIENTO, son iguales entre sí.

El Actuario Frederick Macaulay desarrolló hacia 1937 el concepto de DURACIÓN (D), a modo de complemento del de MADUREZ (M). Donde M = (T-t) siendo T = periodo total de vigencia del título y t = al tiempo transcurrido. Para un activo de renta fija sin intereses de por medio.

D = [n1*PMT1 /(1+r)^n1 +n2*PMT2 /(1+r)^n2 +nk*PMTk /(1+r)^nk +nk*F /(1+r)^nk] / VP

donde: n1, n2 hasta nk son los tiempos faltantes para la redención de los cupones correspondientes o del capital respectivo; PMT1,PMT2 hasta PMTk son los valores de cupones pendientes de cobro; F es el valor facial; r es el tipo de interés de referencia (con capitalización compuesta) o la tasa de descuento del mercado y VP es el valor presente total no ponderado del BONO.

Si hay interés compuesto D* = D/(1+y), donde D* es la duración modificada e y es la TASA INTERNA DE RETORNO al vencimiento en función de la periodicidad de la tasa cupón. No obstante, estas DURACIONES solo tienen validez para un titulo de renta fija ordinario y no para uno a tasa flotante.

La Convexidad (C) es necesaria para calcular la tasa de variación en el precio del BONO, pues a partir de la DURACIÓN Y MADURACIÓN en forma exclusiva, no es posible. puede representarse como C = D^2 - d(D)/d(r)

Desarrollando (C), donde: c es la tasa cupón, y es el rendimiento al vencimiento, N el tiempo o número de periodos que le falta al título para su expiración

C = 2*c*(1+y)^2 *{[(1+y)^N -1 +(y*N / 1+y)]} + {[N^2+N]* [y^3- y^2 *c]} / y^2 *(1+y)^2 *{[c *(1+y)^N -1]+y}

Así las cosas la variación términos porcentuales del precio de un bono viene dada por la expresión: d%B =[C/2*(rt-r0)^2 - D*(rt-r0)]*100 o en valores absolutos, dB =VP*[C/2*(rt-r0)^2 -D*(rt-r0)] donde rt es la última tasa de descuento de mercado y r0 la penúltima.

Estas fórmulas y algoritmos se antojan harto ineficientes y solo funcionan como ya se dijo si el cupón tiene una tasa constante. Intenten los lectores aplicar las fórmulas anteriores con este ejercicio:

CERTIFICADO DE DEPOSITO (CD) con MADUREZ ORIGINAL a 3 años. Dentro de 1 año le dará 60, al segundo año otros 60 y en el tercer año 1060 (los 60 son por concepto del cupón).

Asuma ahora que en algún punto del tiempo resuelve negociar el CD en el MERCADO ABIERTO. El día 1 ofrecen comprarselo con un factor de descuento del 6.01% y al día 2 al 6.009% y al día 3 al 5.999%.

Si de ser eficientes se trata lo mejor es aplicar la fórmula corta para la variación en el precio de un ACTIVO DE RENTA FIJA. dB = VP - VPo o en porcentajes: d%B = [(VP / VPo) - 1]*100 donde: VP es el último precio del BONO y VPo es el penúltimo precio del BONO.