VeR USADO COMO MARTINGALA Y APROXIMACIÓN A VALORES EXTREMOS (ESTOCÁSTICOS 2)

        El siguiente artículo es una idea original de los doctores Kevin Dowd y Thomas F.    
        Coleman. El concepto consiste en fusionar el Valor en Riesgo (VeR) y la estimación   
        semiparamétrica para producir una MARTINGALA.

VeR = -α*σ*(n+1/n)^0.5 - μ*(n+1-n)  

en donde: α es un estadístico gaussiano, t-student o un estadístico Wiener, σ la desviación típica, n el número de datos usados y μ la media histórica.

Lo anterior se puede relajar y reducir a los suguiente supuestos: VeR = ±Wt*s*(n+1/n)^0.5 ± x*(n+1-n) en donde: s es una desviación típica muestral, n el número de datos usados para el cálculo, x es la media muestral y Wt un estadístico que se define de la siguiente forma: Wt = (Xt - μ ) / σ

Retomando el Ejemplo: La subida máxima correspondió a: 9.19358686771401% y la peor caída: -8.6844760456996%

Calcular la martingala para el día de mañana teniendo en cuenta que el último precio conocido (So) es $9969,77

Primero hay que convertir los 2 factores a tiempo continuo según la fórmula ln(1+r) y poder calcular lo demás.

Xtmin= -0.090849380482867 , Xtmax= 0.0879521472804962 promedio entre sí (x) = -0.00144861660118324, desviación muestral (s) = 0.126431772767992

Calcular los estadísticos Wt, teniendo en cuenta que μ = 0 y σ = 0.08: -1.13561725603584 y 1.0994018410062 (de los 2: el mayor valor en términos absolutos)

Calcular el VeR para una pérdida y para una ganancia y convertirlo luego a tiempo discreto:

-0.174397928528738 y 0.174397928528738 que en tiempo discreto se transforma en:

0.839962586070714 y 1.19052921711422

Stmin = 9969.77*0.839962586070714 = 8374.23 y Stmax = 9969.77*1.19052921711422 = 11869.30

Las martingalas están dentro de los valores acorde a la media y los estimadores observados, sí resultan ser del todo o nada. El rango del intervalo es más amplio que con la estimación expuesta en el artículo anterior: ESTOCÁSTICOS 1.

El resultado final así mismo es más generoso que aquel que se pudiera obtener vía cálculo de Ito o ecuación de Kolmogorov. Pero lo más importante yace en el hecho de que aparte del cálculo de una determinada martingala esta fórmula también nos permite estimar el VALOR EN RIESGO de un portafolio o cartera de inversión.

Wt, s y x sólo se recalculan cuando surja un nuevo valor extremo que deje obsoleto a los actuales. So viene dado por la serie temporal.

Fuentes: Wikipedia y el desaparecido FEN (Financial Engineering News). Agradecimientos especiales a los doctores: Kevin Dowd & Thomas F. Coleman por inspirar esta divagación.