PROCESO DE WIENER, MOVIMIENTO BROWNIANO Y SU MARTINGALA (ESTOCÁSTICOS 1)

Desde siempre hemos querido anticipar o averiguar el futuro, en particular, aquel concerniente a los precios por venir de los activos negociados en bolsa de valores o aquellos de los cuales tenemos una buena base de datos histórica de sus fluctuaciones.

En esta oportunidad vamos a meternos con los MODELOS ESTOCÁSTICOS para explicar el comportamiento futuro de un valor St a partir de su pasado y el cual es univariante. Se elige esta clase de modelos pués las series temporales están rodeadas de incertidumbre y su distribución suele ser arbitraria no cumpliendo con los atributos y parámetros exigidos por los otros MODELOS CUANTITATIVOS.

1. El proceso de Wiener (Wt). Primero se debe calcular el desviado estocástico. Wt = (Xt-μt) /σ donde: Xt el último factor de variación conocido, μt el promedio histórico de las variaciones y σ la desviación típica . Todo esto en términos de TIEMPO CONTINUO.

2. El movimiento Browniano viene dado por la siguiente expresión en donde todos los argumentos están calculados en TIEMPO CONTINUO: [(μ -σ^2/2)*t + (Xt-μt)]

3. Convertirlo de TIEMPO CONTINUO A TIEMPO DISCRETO utilizando la constante de Euler: e

4. Así las cosas, el MOVIMIENTO BROWNIANO GEOMÉTRICO queda: St = So * e ^ [(μ -σ^2/2)*t + (Xt-μt)] donde So es el valor de la variable anterior a St

5. Todo lo anterior debe cumplir la siguiente ecuación diferencial estocástica: dSt = μ*So*dt + σ*St*dWt donde: dSt = St - So y dWt = Wt - Wo. Todo esto también en TIEMPO CONTINUO.

La fórmula anterior debe aplicarse tal cual cuando se conocen los valores de todas la variables, incluido St. Pero que ocurre cuando no se conoce St porque el evento no ha sucedido y queremos pronosticarlo?

Pueden aplicarse las siguientes variantes: al momento de calcular Wt se calcularán 2 valores usando el Xt máximo y el Xt mínimo de todos los tiempos. Los demás argumentos se calculan a partir del muestreo.

 

>Ejemplo: 2 días de variaciones en el precio de la acción de la compañía CONSTRUCCIONES CHARCA LARGA la periodicidad es de días laborables. De esas 1066 observaciones se encontró que la subida máxima correspondió a: 9.19358686771401% y la peor caída: -8.6844760456996%

Calcular la martingala para el día de mañana teniendo en cuenta que el último precio conocido (So) es $9969,77

Primero hay que convertir los 2 factores a tiempo continuo según la fórmula ln(1+r) y poder calcular lo demás.

Xtmin= -0.090849380482867 , Xtmax= 0.0879521472804962 promedio muestral = 0.0000537462567719339 , varianza muestral = 0.000221555824970843 y ahora a aplicar la fórmula con t = 1

Stmin = 9969,77*0.91305408771459 = 9102,94 y Stmax = 9969,77*1.09181491300077= 10885,14

Las martingalas están dentro de los valores acorde a la media y los estimadores observados no resultan ser del todo o nada. Vamos ahora al modelo básico de proceso estocástico de reversión hacia el promedio.

Mt = (μ -σ^2 /2)*t + [σ*((n+1)/n)^1/2] y Mt = (μ -σ^2 /2)*t - [σ*((n+1)/n)^1/2]

Nótese como la desviación típica para el siguiente suceso no está en función del tiempo sino de los datos empleados a diferencia del modelo original. Las nuevas martingalas serían: 9789,11 y 10152,61. Se reduce todavía más el rango del intervalo.

En el próximo artículo retomamos los modelos probabilísticos y usaremos el VALOR EN RIESGO como herramienta para el cálculo de una martingala.

Fuentes: Bloomberg, Chicago Mercantile Exchange Group, RiskCenter, Investopedia, Wikipedia, EdX, Coursera y MIT-OCW